课程思政优秀案例（四十四）|《复变函数与积分变换》：傅立叶变换的应用

2022-05-19 北京交通大学阅读量: 106

编者按

为深入贯彻落实教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》等文件精神，进一步改进教学方法，推动案例教学在学校课程思政教学中的应用，加强课程思政经验共享，提升课程思政教学质量，北京交通大学本科生院推出课程思政系列优秀案例。

2022年1月，本科生院已对教育部首批国家级课程思政示范课程、北京市课程思政示范课程进行推送宣传。近期，课程思政案例版块将陆续为大家展示北京交通大学校级课程思政示范课程的风采。本期推出的是：2021年学校课程思政示范课程《复变函数与积分变换》（课程负责人：郑神州，教学团队成员：刘迎东，曹鸿钧，黄晓鸣，任丽伟）课程思政建设案例。

傅立叶变换的应用

完成人：郑神州

审核人：孔令臣

一

课程和案例的基本情况

课程名称：复变函数与积分变换

授课对象：工科二年级本科生

课程性质：公共基础课

课程简介：

作为工科数学系列的公共基础课程，复变函数与积分变换内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复变函数级数、留数计算及应用、共形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换等。该课程特点是为工科有关专业后续课程学习打好数学基础，也是有关工科专业课程和数学应用的一座桥梁。课程不仅要为学生提供数学知识体系，而且是专业学习和数学应用能力提升的不可或缺环节。课程的主要任务是通过课堂教学活动，培养学生的创新意识和能力和科学知识的实际应用能力。

本学团队是一支以教授为主体的师资队伍，教学经验十分丰富，近5年来一直稳定在“复变函数与积分变换”教学第一线。主持了校级教改项目“复变函数与积分变换精品课教学”、“思政教育融入数学课堂教学”、“复变函数与积分变换全英文教学实践”等项目。已成功在中国大学“爱课程”上线了《复变函数与积分变换》MOOC(选课人数近4万人)，在“学堂在线”上线全英文《复变函数与积分变换》MOOC，社会效果十分显著。本课程2021年被北京交通大学评为校级课程思政示范课程，课程负责人：郑神州，教学团队成员：刘迎东，曹鸿钧，黄晓鸣，任丽伟

案例简介：

傅立叶变换是本课程的两大核心内容之一，本案例是作为学习完傅立叶变换以后的应用案例。作为本校相关专业学习傅立叶变换，目的是为了更好地为后续课程提供数学理论，所以其应用案例尤为重要。本案例内容:回顾傅氏变换概念，傅氏变换性质，相关卷积公式，其逆变换计算法；利用傅立叶变换求解有关的微分方程、积分方程、微分-积分方程以及相关的数学物理方程定解问题，进一步考虑海森堡不确定性原理描述和证明。

本讲的学习目标：

挖掘知识传授深度：① 巩固傅氏变换概念、傅氏变换性质、卷积公式、逆变换计算法知识。② 应用傅氏变换以及相关性质在求解微分方程、积分方程、微分-积分方程; 拓展傅氏变换在数学物理方程有关定解问题的作用。③用傅氏变换描述和证明量子力学中海森堡不确定性原理。

拓展能力培养广度： 傅里叶分析对数学和理论物理学发展仍产生深远的影响。由于其优良的性质, 在物理学、信号和图像处理、概率统计、密码学等领域都有着广泛的应用，所以构建傅氏变换应用于解决线性系统（具有叠加性质的系统）的桥梁。本课程基于傅里叶分析用于求解微分方程和数学物理方程问题知识点，提升学生科学精神的培养、科学思维方法的训练和科学伦理的教育，激发学生勇攀科学高峰的责任感和使命感。

构筑价值塑造内涵：学习科学家不懈的探索精神，培养创新意识。将数学理论知识应用于专业学科，启迪学生数学理论与实践相结合的思维惯性，灌输科学技术能够改造客观世界科研情怀。

二

案例蕴含的思政元素分析

基于本课程特点，深挖课程蕴含的思政元素，确定课程育人目标。事实上，“复变函数与积分变换”课程的思政教育资源和要素是十分丰富的有特色鲜明、创新点丰富的特点。下面我们结合课程案例内容，阐明案例蕴含的思政元素及课程思政教学改革的创新点。

1. 本课程的思辨逻辑性决定了与唯物辩证法同宗同源。本课程中蕴含了很多的唯物辩证法、对立统一的观点、否定之否定、量变到质变的辩证规律等原理。例如：阐述 Cauchy 积分公式的解析函数边界决定内部函数值的确定性理论，海森堡不确定性（用积分变换可以证明）的对立统一，这里申明一下:不确定性原理是21世纪125个重大科学问题的第21个问题。其他如：“复球面与复平面的统一”，“离散与连续的对立统一”，“函数、映射和变换的统一”，“直线对称和圆周对称的统一”，“微分与积分的相互相成”，“正则与奇异的对立统一”，“共形映射的曲边三角形的局部相似变换”“曲线的正交性”等。实际上，很多数学家几乎都是哲学家。

2. 基于课程思政的数学文化，传播社会正能量。数学是一切自然科学的基石，对理工科的专业学习尤为重要。数学教育不仅能传播传统数学知识, 培养学生严密的逻辑思维能力, 丰富其空间想象能力, 也是加强通识观念、传播数学文化和民族文化的素质教育平台。数学的核心素养“真、善、美”三个维度,理解理性数学文化的文化价值,体会数学真理的严谨性、精确性，能够欣赏数学智慧之美, 喜欢数学, 热爱数学。本课程的级数学习中可引入“芝诺悖论”解决的典故；用复级数的敛散性和零点理论，可引入千禧年七大数学猜想之一的“黎曼猜想问题”。

3. 引入当代科学家事迹，增强爱国情怀。在学习复变函数部分，引入我国数学家关于值分布中的贡献“张-杨”定理(我国当代数学家张广厚和杨乐证明的)。在用Fourier变换描述和证明海森堡量子不确定性原理时，介绍我国科学家潘建伟团队在量子通讯和量子计算机上的成就，继2016年成功研制“墨子号”量子科学实验卫星后，又成功研制“祖冲之号”超导量子计算原型机，相关研究成果于2021年5月7日在线发表在国际学术期刊《科学》杂志上。总之，课程努力弘扬爱国主义情怀，以及数学家治之以恒的科研情怀。

4. 实现课程“知识传授”与“价值引领”的双目标。课程教学不仅是让学生的专业知识获得发展，更是研究生的人生观和价值观得到正确的熏陶，也是弘扬社会正能量的主阵地。例如：Fourier变换与我校特色学科的信号和图像处理问题息息相关，同时与电子、运输、电气与机械、新能源等工科专业分不开。将对学生的价值引领融入到知识传授和能力培养之中，有效改善思政教学融入基础教学难的问题，把社会主义核心价值观自然贯穿于整个教学之中，真正做到“润物细无声”。

5. 课程思政并不是一门具体的课程，而是一种教育思想和教学理念。 教学设计中不断挖掘学科资源，我们秉持着本课程把立德树人作为教育的根本任务和理念。不忘初心，与时俱进，不断汲取新素材、新成果，把学术资源转化为育人资源。

三

案例教学整体设计

（一）教学设计

“傅立叶变换的应用初步”课程案例的思政教学，总体上仍延续《复变函数与积分变换》课程的思政建设总体设计思路和理念。

1．内容为本，分析课程特点：延续数学课程一贯的科学性、严谨性，严格推理何用Fourier变换和其逆变换求解微分方程、积分方程和微分-积分方程，以及有关的数学物理方程定解问题。用傅里叶变换描述和严格推导海森堡不确定性原理，以位移函数与速度函数的方差积有正下界公式，解释海森堡不等式的数学和物理意义。激发学生主动学习和探究精神，在潜移默化中培养学生“知识传播、能力培养、价值塑造”一体化，全面提升学生整体综合素质。

2．切入恰当，挖掘思政元素：启发学生与教师共同探究问题的本质，因势利导地培养学生辩证思维能力。挖掘“唯物辨证法、实事求是、不迷信不盲从”的科学精神，鼓励学生勇于发现问题，用科学的方法解决问题态度，从中渗透着精益求精的科学研究精神和正确的人生观和价值观。

3.科学史实，传承爱国情怀：案例课程涉及当今热门课题和科学家事例，如未来25年要解决的125个科学前沿问题第21个问题: 量子不确定性背后是否有更深刻的原理? 量子不确定性问题上的海森堡、哈代和多位著名数学家的工作(包括华人陶哲轩在内的多名获菲尔茨奖数学家在这方面都有重要贡献)，以及在量子通讯上我国科学家潘建伟团队的成就。从这些科学史实上触及的感人事迹，挖掘出崇尚科学、热爱科学的科学精神；并且使学生明确自身的责任和义务, 以中国学者的爱国情怀来增强学生的民族自豪感。

（二）教学实践

“傅立叶变换的应用初步”基于在充分理解傅立叶变换和逆变换、傅立叶变换性质、卷积定理基础上，继续学习内容，教学内容包括：

① 建立傅氏变换、卷积公式、逆变换和线性系统问题求解的桥梁。

② 应用傅氏变换求解微分方程、积分方程、微分-积分方程; 拓展傅氏变换在数学物理方程有关定解问题的作用。

③ 用傅氏变换描述和证明量子力学中海森堡不确定性原理。

教学方法：

① 基于数学课程特点以课堂讲授为主，案例结合运用启发式和案例式相结合的教学方法，引导并启发学生从理论到实践的整个分析过程。对于线性系统，比较用傅立叶变换求解方程的技术与传统方法孰优孰劣。这部分适当地融入唯物辩证法和数学文化，延续数学课程科学性、严谨性风格。

② 用概率密度描述量子波函数物理意义，用位置函数和速度函数方差精确描述海森堡不确定性的数学公式，得出傅立叶变换表示海森堡不确定性。融入辩证思维、对立统一思想，适当加入我国科学家潘建伟团队在量子通讯成就，弘扬爱国主义情怀。

③ 通过设置问题情境，引导学生对案例进行分析，通过问题牵引，利用傅立叶变换的Plancherel等式以及Cauchy-Schwarz不等式证明海森堡不等式。融入朴素唯物辩证法哲学，以及科学研究的严谨性和可证实性原则。

教学过程:

1. 图解用傅立叶变换求解微分方程全过程的整体设计，高屋建瓴，拓展课程知识的宽度和广度，达到逻辑思维的升华。运用高度抽象性，认识自然界物质的更深层次的规律性。

图1 授课PPT截图

2.课程思政元素之一:海森堡不确定性与重大前沿科学问题的联系，激发学生的科学献身精神。在学生获得专业知识发展的同时，更是达到人生观和价值观的正确熏陶。

图2 授课PPT截图

3.当点穿插着课程思政元素之二:我国科学家在相关领域中的贡献，弘扬爱国主义情怀。潜移默化，将学科资源转化为育人资源，实现“知识传授”和“价值引领”的有机统一。达到“知识传播、能力培养、价值塑造” 教书育人的目的。

图3 授课PPT截图

4.在L2度量下(方差意义下)海森堡不确定性原理的数学描述，体现数学课程的专业性、严谨性和科学性, 否则“差之毫厘, 谬以千里”。

图4 授课PPT截图

5.严格的证明体现出数学真理的严谨性、精确性，用数学方法分析和解决实际问题，欣赏数学智慧之美。从数学人的角度来看:凡事皆可证；“授之以鱼，不如授之以渔”，体现了理性思维的巨大力量。

图5 授课PPT截图

总之，复变函数与积分变换课程思政的元素无处不在，该课程承载思政，思政寓于本课程。课程中努力去挖掘思想政治内涵尤为重要，它能帮助学生迅速建立正确的科学观，引导学生利用辩证唯物主义思想去思考和解决实际问题。要做好课程思政，需要教师用心备课、融会创新，不断扩展知识面，善于捕捉学科知识和德育教育元素的最佳结合点，成为塑造学生品格、品行、品味的教育者，从而做到师生在“思政”中共同成长，共同进步。我们力求以课程教学为载体, 基于学科知识技能形成的重要数学素养, 对学生的终身和未来发展有着重要的意义和价值。

（三）教学反思

以案例为切入点，将课程思政以潜移默化、润物无声的融入德育教学之中，杜绝口头说教。通过案例实践教学效果，进行分析，总结思政教学应回归教书育人存在的实践困难与问题，构筑量化评价课程思政建设目标。

改进思路：

1. 积极参与国内课程思政培训和研讨会议，深入开展课程思政的教研工作。继续深入挖掘课程思政元素，扩充课程思政案例库；挖掘具有交通特色的思政新元素，持续打造办学特色的思政案例。

2. 基于符合学生知识水平和认知规律，继续优化课程设计，将课程思政像一把“盐”自然、和谐地溶进专业课程的“汤”之中，有效地激发学生的学习热情和责任意识，提升学生分析问题和解决问题的能力。达到“思政之盐”溶入“育人之汤”效果，实现“润物细无声”的育人目标。

3. 打造自觉“育德意识”和较强“育德能力”的教师队伍，是确保所有课程“同向同行、协同育人”的人才资源保障。打铁还需自身硬，课程思政教师肩负着夯实通识教育基础和推进思想政治教育的双重使命，实现“知识传授”和“价值引领”的有机统一。

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1.课程思政优秀案例（一）|《信号与系统》：连续时间信号的时域抽样

2.课程思政优秀案例（二）|课程思政融入《城市轨道交通系统运营管理》行车调度指挥教学的研究与实践